立足整体关联 彰显文化魅力
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陈学军，金鹏.立足整体关联彰显文化魅力——以“椭圆的几何性质”教学片断为例[J].中国数学教育，2020（1-2）：49-53.
该文内容摘要：
以椭圆的几何性质的教学为例，从依据核心素养整体设计教学目标、以始为终开发问题情境、寻找前概念在类比中探究、拉长概念建立的逻辑关联链增强“求证”意识和通过应用深化理解等角度入手进行教学设计，探索数学核心素养落地生根、彰显数学文化魅力的课堂教学途径.
立足整体关联彰显文化魅力
——以“椭圆的几何性质”教学片断为例
陈学军 /江苏省苏州高新区教研室
金鹏/ 江苏省苏州新区一中
一、问题的提出
二、理据分析
1. 从数学课程标准看
《标准》构建了有利于促进数学核心素养发展的数学内容体系：主线—主题—核心内容，四条主线既是义务教育数学课程的主线，也是大学的课程主线，是贯穿数学学习过程的一个整体，强调了数学学科核心素养、课程结构、课程内容的整体性. 教学中做到这一点，就要深入到数学学科内部准确把握数学的本质， 捋清各个主线以及同一主线内在的逻辑关联和数学思想方法. 而数学严谨、求真、求实的理性思维品质和科学精神也决定了数学课程标准中“认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”的课程目标.
这就要求我们的教学要有整体逻辑关联的中观远境思考，把课时教学的每一个环节看作这一节课的一个局部，把一节课看成是整个单元或主线的局部，将数学文化渗透在日常教学当中，在发现问题和解决问题的探究活动中了解数学的发展历程，提升科学精神和应用意识，增强人文素养. 椭圆的几何性质的教学，从发射“东方红”一号卫星这一文化事件入手， 由图形的美感引发“为什么要研究？”“研究什么？”“怎么研究？”的框架性整体思考. 通过数形结合、类比，借助函数观点去理解，运用方程的方法去研究， 体会数学发展研究的一般过程，而且还从同一主线以及不同的主线之间的逻辑关联，渗透了数学表达、应用、审美等文化育人要素.
2. 从教材的编排上看
作为一个知识体系，数学是一个整体，数学知识在教科书中的呈现有两个方面：一方面，要符合数学的逻辑规律，有一定的完整性和系统性；另一方面， 考虑到学生的年龄特征、认知规律和差异性，作为教育的数学又要将原本内在整体关联的内容，适当编排在不同学习阶段，只有从整体出发才能体会到每一次螺旋不仅是内容的广度和深度发生了变化，更是思想方法的再次提炼、活动经验的再次积累、发现问题和解决问题能力的再次提升. 数学学习中的关键能力和思维品质具有整合性、综合性、阶段性发展的特征， 也需要从整体上把握课程内容的结构、线索走向、必修与选修、直线与螺旋的关系，形成内在的整体逻辑关联.
就知识而言，函数及其性质、解析几何初步中的圆与方程、曲线与方程的概念，以及圆锥曲线的概念、椭圆的标准方程、生活中的椭圆的直观形象等是本节课学习的基础，由几何美感形成的椭圆的对称性、顶点、范围、离心率这些整体性质的感知与双曲线和抛物线是相通的.
就思想方法而言. 首先，是量化思想，建立坐标系， 用代数的方法研究几何对象，从方程的角度去研究性质，这一方法与后续研究双曲线、抛物线以及其他的曲线是一脉相承的. 其次，是类比的方法，教材中上节课的例2，把圆经过压缩变为椭圆，暗示了两者之间的逻辑关联，意味着可以类比圆来学习椭圆. 最后，是静态到动态，静态的方程可以看成动态运动的数量关系，由方程得到不等式去研究静态的曲线从而理解动态的点的轨迹，从函数的视角理解局部的变化趋势.
借助几何直观形成对曲线性质的感知、运用代数运算进行推理、运用函数观念分析曲线局部的变化趋势， 把变量、方程、函数以及数和形等紧密地联系起来研究椭圆的几何性质，这些也是继续学习研究其他曲线的方法. 从中观的整体研读教材方能讲清楚知识的来龙去脉、丰富的内涵和广泛的应用，以及知识背后的精神实质和思想方法，更好地体会数学内在的统一力量.
3.从认知规律上看
“整体—部分—整体”符合人们对客观事物的认知过程，知识的整体逻辑关联结构遵循学生的认知规律. 立足整体关联的教学设计，通过对相关知识点内在联系的挖掘，以及知识、研究方法系统化的整体架构， 可以帮助学生形成以核心知识及其所反映的基本思想方法为联结点的认知结构，并为后续学习产生积极的迁移作用.
教学中，通过现实的文化事件，让学生系统地思考和解决一些真实的问题. 直接从椭圆的整体感观出发，借助学习圆和函数的性质的经验，不仅联想到从圆到椭圆这些同一知识主线的内在关联，而且还通过函数观念去理解范围、对称性、长轴短轴、离心率等，建立了不同主线知识之间的相互联系，使学生系统地经历了数学思考和推理的过程，明确了由研究的问题获得研究对象、确定研究内容、选取研究方法、建构研究过程和获得研究结论等数学学习过程，逐步形成学科研究的整体认知观念，进而把文化落实到人格上.
三、寻求整体观点下的逆向教学设计，让数学文化落地生根
遵循学生的学习思路，切合学生发展的需求进行教学设计，要从学生学什么、怎么学出发，考虑为了达到目标学生需要什么. 整体观念下的逆向教学设计，采用“执果索因”的思路，教师在思考如何开展教育活动之前，先要努力思考此类学习要达到的目的到底是什么，以及哪些证据能够表明学习已经达到了目的. 从预期的学习结果这个目标出发逆推达到该目标尚需达到的预期子目标. 这一逆推的过程就是逻辑关联的过程，也是整体建构认知结构的过程. 通过设定预期的学习结果、确定合适的评估证据、设计学习体验和教学活动的逆向教学设计，在设计教学活动之前先思考如何开展评估. 这种思考较好地保证了目标、评估与活动的一致性，为数学学习的整体逻辑关联和数学文化的落地生根奠定了基础.
1. 依据核心素养，整体设计教学目标
逆向教学设计应该从数学学科核心素养这一课程目标出发，理清其与课时预设结果、评估依据以及教学活动之间的呼应关联，如下表所示.
综合考虑上述知识的逻辑关联，以及目标、评估、活动之间的呼应关联，制定本节课的教学目标如下.
（1）掌握椭圆的几何性质，能利用性质画椭圆， 解决一些简单的实际问题，提高运算能力.
（2）经历类比推理，初步学会用方程研究椭圆的几何性质的过程与思想方法，借助函数观点理解椭圆的几何性质，经历长轴、短轴、离心率概念的抽象过程，增强概念形成的“求证”意识，提升数学抽象和逻辑推理能力.
（3）从图形的感官上体会曲线的美，享受探究的乐趣，增强“直观想象—数形结合—抽象推理”的研究意识，培养严谨的理性精神，感受审美的价值和数学文化的魅力.
实际教学中，知识与技能目标较为清晰，也容易落实，而数学核心素养和数学文化的渗透受到一节课一节课的分割，难以兑现. 中观视野的逆向的教学设计要求教师从目标出发整体地研读教材，站在理解数学、理解学生、理解教学的视角审视目标、评估、活动之间的呼应关联，寻找达成目标的条件和依据，提高教学的连贯性与针对性．不仅要引导学生在学习过程中循序渐进，理清知识点之间的关系，使学生对学习主题有一个系统的认识，形成更加完整、坚固的知识逻辑结构，还要帮助他们体会到伴随着知识形成过程的思想和方法，营造一个问题情境驱动下的兴奋而又好奇地探究知识生长的氛围，引导学生在探究中享受数学，在潜移默化中增强理性精神，逐步养成不畏困难、不断求索的良好品质，体会数学文化的魅力.
在数学课程目标的指导下，制定了本节课的整体教学目标，包括了概括性的论题（如数学思想方法）， 涵盖了多个具体的学习任务（如椭圆的范围、对称性、长轴、短轴、离心率等） 和描述性的认知过程（增强、体会），是课程目标中科学价值、应用价值、文化价值和审美价值等的具体化．
2. 以始为终，开发问题情境
创设问题情境导入有时会注重外在的形式和兴趣的激发，削弱认知因素，导致教学目标的游离. 而从揭示所学内容的本质入手，对学材进行逆向二度开发和设计可以帮助学生整体把握课时教学目标，使活动成为目标与评估之间的纽带．
教学片断1：依托文化事件，创设问题情境.
展示第一颗人造地球卫星“东方红”一号进入轨道运行的视频材料：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（以下统称“地心”） 为一个焦点的椭圆 （如图1）. 已知它的近地点 （离地面最近的点） 距地面439km，远地点 （离地面最远的点） 距地面2384km，地球半径约为6371km.
师：哪里是近地点？哪里是远地点？你能说出理由吗？
以本节课要解决的应用问题 （例2） 为背景，对教材进行二度开发，通过对文化事件的介绍设计教学情境，点燃了学生主动求知的欲望，由优美的图形激发探究的念头：近地点、远近地点究竟是什么？从而逆推子目标：先研究椭圆的性质，让学生体会到数学是真实有用的，初步了解了本节课该研究什么. 这样以始为终、任务前置的问题情境设计使目标与评估前后贯通，开场学生便感知到“事实—概念—性质（关系）—结构（联系）—应用”的整体教学明线，直指教学目标，保障了学习内容的内在逻辑关联和认知结构的整体性.
3. 寻找前概念，在类比中探究
要研究椭圆的几何性质就应该挖掘新、旧概念和活动经验之间的关联，发挥“先行组织者”的同化功能，找准知识发展的固着点，通过逆向寻找支持知识发展的前概念，启发学生类比猜想、探究.
教学片断2：椭圆性质的引入.
问题1：在我们研究曲线的几何性质之前，有没有可以类比的对象？
生1：在函数中，我们研究过定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和最值.
生2：可是椭圆的方程不是函数啊！
师：这些都是在学习函数时研究过的性质，椭圆的方程虽然不是函数，但会不会也有相近的性质呢？回顾上节课研究过的问题（教材第31 页的例2）：将圆x2 + y2 = 4 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
问题2：椭圆可以由圆通过压缩变换得到，说明两者之间有着内在的联系. 能否从圆的几何性质出发，类比研究椭圆的几何性质呢？
生3：圆也有一些和函数相近的性质，如范围、对称性，以及圆上的点到圆心的距离为定值.
生4：从图形上看，椭圆也有范围、对称性，但是椭圆上的点到椭圆中心O 的距离不是定值.
这两个问题又是一次逆推：函数和圆是学习椭圆的几何性质的基础. 进而从整体观念出发揭示了研究学习的内容，找到了知识发展的前概念，体会到学习是环环相扣的、知识是相互关联的这样的逻辑之美， 领悟到可以借鉴以往的经验进行类比学习的方法．学生的顺利应答拉开了进一步推理论证的序幕．
4.拉长概念建立的逻辑关联链，增强“求证”意识
数学概念的教学通常分为引入、建立、巩固和运用四个阶段，而很多教师往往过于强化归纳，大量使用例证而忽略了逻辑推理的“求证”过程，匆匆忙忙引入和建立概念. 概念的快速合盘托出，失去了沿着数学家形成概念的路径进行再创造的机会. 学生数学概念的获得是一个心理表征的建构过程，将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为有意义的逻辑推理，从而将学生卷入活动意义的深度思考中，这是数学概念理解必不可少的环节．
教学片断3：椭圆长轴的概念.
师：刚才同学们说PO是变化的（如图），那么PO何时最大？何时最小呢？
生：在点 A1或点 A2取得最大值，在点 B1或点 B2取得最小值.
师：能否证明呢？
在学生证明以后，顺势引入长轴、短轴的概念．
师：换一个角度，请同学们再想想椭圆上哪个点到其右焦点距离最大，哪个点到其右焦点距离最小？
生：A1F2最大，最大值为a+c，A2F2最小，最小值为a - c.
师：同学们的猜想是正确的，课后再去证明．
长轴、短轴的概念是建立在求函数最值的基础上的，通过逆推，学生能够探究出PO 的最值，既顺利引入了概念，又触及到知识的本源，生动地交待了概念的来龙去脉，提升了学生的理性思维. 而“椭圆上哪一点到右焦点的距离最大、最小”的探究，不仅打开了学生思维的宽度也加强了学生对“近地点、远地点”的理解，为例2 的解决进行了铺垫. 其探究过程从整体出发一气呵成，流畅而自然．
教学片断4：离心率的概念.
师：再回到教材第31页的例2中，从动态角度观察压缩的过程，有新的发现吗？
生：椭圆有的“圆”一些，有的“扁”一些．
师：椭圆的“扁”的程度和哪些量有关？
生1：与a，b有关．
生2：与a，c也有关．
师：究竟用什么量来刻画更合理呢？回到椭圆的定义中，由于2a，2c 是确定椭圆的基本量，下面不妨就先尝试用2a，2c 刻画椭圆“扁”的程度．
合作实验：（1）将细绳的两端点固定在焦点处，用笔尖拉紧绳子在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；
（2）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律．
小组1 展示所画图形：2c 确定时，2a 越小，椭圆越“扁”.
小组2 展示所画图形：2a 确定时，2c 越大，椭圆越“扁”．
师：同学们讨论一下：用怎样的式子来刻画椭圆“扁”的程度呢？
小组1：2a确定了，椭圆的“扁”的程度和2c成正比；2c确定了，椭圆的“扁”的程度和2a成反比. 好像和正比例函数、反比例函数有关系．
小组2：猜想用2c/2a即c/a来刻画．
通过观察圆经过压缩而得到椭圆的过程，意识到研究椭圆“扁”的程度是必要的. 学生在小组操作探究中提炼出：当2c 为定值时，2a 与椭圆“扁”的程度成反比；当2a 为定值时，2c 与椭圆“扁”的程度成正比，在此基础上再次逆推联想到正比例函数和反比例函数这些前概念，揭示了本质，此时定义离心率也就水到渠成了．
拉长概念建立的逻辑关联链，可以更好地了解概念的来龙去脉，用数学的眼光和思维探究概念建立的必要性和合理性. 通过“寻找新概念学习的条件”这个逆推的活动过程使目标和评估相呼应，在学生对概念理解的各个维度上设置相应的“求证”环节，达到了“先行组织者”的目的，增强了“求证”意识和理性精神，提升了逻辑推理素养，感受到数学概念的和谐之美.
各种孤立、不相关联的知识点是无法发生迁移的，也难以内化为学生的学科素养．在应用阶段更应该引导学生多角度理解知识，进一步固化认知结构．
例1 求椭圆x2/25+y2/9=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
师：你打算怎么画椭圆？
生：先在第一象限取几个点，用平滑的曲线连起来，再充分利用对称性画第二象限以及第三、四象限的椭圆．
师：描点时由椭圆方程得出
生：定义域是椭圆方程中的x的范围，值域为椭圆方程中的y的范围.
师：很好！能否从函数的奇偶性出发来解释椭圆的对称性？课后去思考.
例1 教学时没有简单“滑过”列表细节，而是站在函数的视角理解椭圆的范围和对称性，激活了不同主线之间的联系. 教师的提问在目标与评估之间搭建了桥梁，使学生再次感悟到用函数的观念理解与用方程的方法研究曲线的性质的一致性的内在统一美，在内化中进一步优化了学生的认知结构．
例2 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（以下统称“地心”） 为一个焦点的椭圆. 已知它的近地点（离地面最近的点） 距地面439km，远地点（离地面最远的点） 距地面2384 km，地球半径约为6371 km，求卫星运行的轨道方程.
师：我们再回到刚开始上课时的问题，这道题的解决应该分哪些步骤？
生：先建系，设出椭圆的标准方程；再由a-c=OA-OF2=F2A=6810 ， a+c=OB+OF2=F2B=8755，求解可得．
师：求出a以后，应该如何求b？
生1：得出c以后，代入b2=a2- c2可得b.
生2：只要由(a-c)(a+c) 可得．
师：很好！生2的方法更为简洁．变形时要注意观察，盯着目标，提高合理性．例2 与开场白遥相呼应 （实际上整堂课都是围绕这个问题的解决而展开的），在求b 的值时，同样没有简单放过，而是珍惜每一次引导学生进行推理和运算的机会，使学生感悟到数学表达式合理变形的简洁美．
立足整体中观观念，渗透数学文化的教学设计， 应该遵循学科特点，找准数学学科价值引领的支撑点. 本节课以第一颗人造地球卫星“东方红”一号的发射这一文化事件引入，激发了学生的探究欲望，引导学生从整体感观猜想椭圆的性质，再进行数学论证，摒弃了小步子、碎片化的设计，增强了全局展望、整体关联的学科思想观点的思考. 在应用环节， 又从函数观点理解其性质，前后呼应，学以致用. 经历了“观察—发现—猜想—论证”，初步了解“为什么要研究？”“研究什么？”“怎么研究？”的学科研究观念，构建了前后呼应、逻辑关联的学习过程. 在引导学生把握学科知识的大观念、认知结构及其蕴涵的思想、方法、思维及其价值中，逐步完成从事实到方法再到方法论最后上升为数学学科本质观的超越，逐步体会数学文化的魅力.
参考文献：
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